20.(本小题满分12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.

解：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）

（Ⅰ）①当时，，化简得,

解得，或，又，故.

②当时，，化简得,

解得，又,故.

综合得,或；

故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）= 

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t

(4,8)

8

(8,10)

V′(t)

+

0

-

V(t)

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴.

.                                      ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

当E、F在同一去上时（如图1所示），

S_△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S_△ODE=

综上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面积不小于2

     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

                       ②

设E（x，y），F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S_△OEF，则有

        ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为 

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

解得a²=b²=2,

∴曲线C的方程为

则c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

19.（本小题满分13分）

如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，

，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，平面侧面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.

解：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）

（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作

AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC侧面A₁ABB₁=A₁B,得

AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

则AA₁⊥底面ABC，

所以AA₁⊥BC.

又AA₁AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁，

又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁―BC―A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得又所以

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA₁=a,AC=b,

AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则

由得

可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.

所以

于是由c＜b，得

即又所以

当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.                                                     

∴或即为所求.

当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;