记l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,则2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以当t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)时,

l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,则2(x₀-3)0,g(t)在区间（0，4 x₀-8）上是减函数，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

综上所述，当x₀>3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值

为2（x₀-1）；当2< x₀3时，点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

而于是故点P（x₀,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

整理得     （?）

则是方程（?）的两个实根，且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是设t=,则t(0,4x₀-8).

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因为x₁x₂,所以y₁+y₂0.

设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m, y_m）,则

k=.从而AB的垂直平分线l的方程为

又点P（x₀,0）在直线上，所以

存在无穷多条“相关弦”.给定x₀>2.

（I）证明：点P（x₀,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；

(II) 试问：点P（x₀,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由.

解: （I）设AB为点P（x₀,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,则y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

20.（本小题满分13分）

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与

x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt中，PE=QE?sin

=

所以船会进入警戒水域.

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

又点E（0，-55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.

解法二:  如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

从而

在中，由正弦定理得，

AQ=

19.（本小题满分13分）

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断

它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解:  （I）如图，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为（海里/小时）.

（II）解法一   如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,

BC与x轴的交点为D.

由题设有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

故数列的通项公式为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①

     ②

   ①-②得，

   所以

   要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

   证法一

   (1)当n = 6时，成立.

   (2)假设当时不等式成立，即

   则当n=k+1时，

   由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，

   证法二

   令，则

   所以当时，.因此当时，

于是当时，

综上所述，当时，

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，