=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)???????????????????????????????? 12分
⑴证明:平面和平面互相垂直;
⑵证明:截面和截面面积之和是
定值,并求出这个值;
⑶若与平面所成的角为,求
与平面所成角的正弦值.
说明:本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分.
解法一:
(Ⅰ)证明:在正方体中,,,又由已知可得
所以,,
所以平面.
所以平面和平面互相垂直.???????????????????????? 4分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
,是定值.?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(III)解:连结BC′交EQ于点M.
因为,,
所以平面和平面PQGH互相平行,因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等.
与(Ⅰ)同理可证EQ⊥平面PQGH,可知EM⊥平面,因此EM与的比值就是所求的正弦值.
设交PF于点N,连结EN,由知
.
因为⊥平面PQEF,又已知与平面PQEF成角,
所以,即,
解得,可知E为BC中点.
所以EM=,又,
故与平面PQCH所成角的正弦值为.????????????????????????????????????????????????? 12分
解法二:
以D为原点,射线DA,DC,DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得,故
,,,
,,.
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得
,
,
.
因为,所以是平面PQEF的法向量.
因为,所以是平面PQGH的法向量.
因为,所以,
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ)证明:因为,所以,又,所以PQEF为矩形,同理PQGH为矩形.
在所建立的坐标系中可求得,,
所以,又,
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值.????????????????????????????????????????????? 8分
(Ⅲ)解:由已知得与成角,又可得
,
即,解得.
所以,又,所以与平面PQGH所成角的正弦值为
.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
0.09
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
0.3
0.37
0.2
0.04
P(=16)=0.32=0.09.
的分布列为
8
10
12
14
16
P(=14)=2×0.5×0.3=0.3,
P(=12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,
P(=10)=2×0.2×0.5=0.2,
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