Question

有一串自然数排成一行，已知它的第1个数与第2个数互质，而且第1个数的

5

6

恰好是第2个数的

1

4

．从第3个数开始每个数正好是前2个数的和，那么这串数的第1999项被3除得的余数是

2

．

Answer 1

分析：设第一个数是a，第二个数是b，那么：

5

6

a=

1

4

b，ab是自然数，而且互质，所以求得a=3，b=10；
这串数列就是：
3，10，13，23，36，59，95，154，249…
除以3后的余数是：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…
余数规律“0，1，1，2，0，2，2，1”8个数一组进行循环的，求出1999里面有几个8，还余几，再根据余数推算．

解答：解：设第一个数是a，第二个数是b，那么：

5

6

a=

1

4

b，
10a=3b，
a、b是自然数，而且互质，所以求得 a=3，b=10；
这串数列就是：
3，10，13，23，36，59，95，154，249…
它们除以3后的余数是按照“0，1，1，2，0，2，2，1”8个数一组进行循环的，
1999÷8=249…7；
余数是7，那么第1999个数除以3后的余数，与第7个数除以3后的数相同都是2．
故答案为：2．

点评：先根据前两数之间的关系，求出这个数列，再找出余数的周期性规律，然后再根据周期性的规律求解．