Question

有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的

5

6

恰好是第二个数的

1

4

，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？

Answer 1

分析：（1）因为第一个数×

5

6

=第二个数×

1

4

，所以第一个数：第二个数=

1

4

：

5

6

=3：10．又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
（2）要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么；由此即可解决问题．

解答：解：根据题干分析可得这串数字为：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
这串数字被3除所得的余数依次为：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，
所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8．
因为1991÷8=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2．
答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是2．

点评：解答此题应注意以下两个问题：（1）由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数；
（2）求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期．一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性．