Question

对自然数列1，2，3，4，5，6，…进行淘汰，淘汰的原则是：凡不能表示为两个合数之和的自然数均被淘汰，如“1”应被淘汰，但12可以；写成两个合数8与4的和，不应被淘汰，那么被保留下来的数从小到大数下去，第2002个数是

2011

．

Answer 1

分析：把自然数分为奇数和偶数两类讨论，能表示成两个偶合数之和的最小自然数是：4+4=8；因为大于8的偶数比8大的部分是偶数，将大的部分的偶数加到4上一定是合数；所以大于8的偶数都可以表示为两个合数之和的自然数，可以被保留下来；那么自然数列就只剩下了奇数，奇数能表示成两个合数之和的最小自然数是：4+9=13，又根据数的奇偶性，任何大于13的奇数与13的差一定是偶数，将差偶数加到4上一定是合数，所以大于13的奇数都可以表示为两个合数之和的自然数，可以被保留下来；这样大于8的偶数和大于13的奇数都需要被保留下来；反之，小于8的偶数和小于13的奇数都需要被淘汰：即1、2、3、4、5、6、7、9、11；那么被保留下来的数是：8、10、12、13、14、15、16、…然后根据等差数列即可求出第2002个数是2011．

解答：解：最小的偶合数是4，最小的奇合数是9；
能表示成两个偶合数之和的最小自然数是：4+4=8；所以在大于8的偶数M都比8大2N，将增加的2N加到4上一定是合数即：M=（4+2N）+4，所以大于8的偶数都可以表示为两个合数之和的自然数，可以被保留下来；
那么自然数列就只剩下了奇数，下面我们就研究奇数：
奇数如果能表示成两个合数之和，根据数的奇偶性，说明这两个合数必定是一奇一偶，
那么奇数能表示成两个合数之和的最小自然数是：4+9=13，又根据数的奇偶性，任何大于13的奇数m与13的差一定是偶数2N，将2N加到4上一定是合数即：m=（4+2N）+9，所以大于13的奇数都可以表示为两个合数之和的自然数，可以被保留下来；
所以小于8的偶数和小于13的奇数都需要被淘汰：即1、2、3、4、5、6、7、9、11；
那么被保留下来的数是：8、10、12、13、14、15、16、…
从12开始是一个等差数列，2002-2=2000，则第2002个数是：12+（2000-1）×1=2011；
答：被保留下来的数按从小到大的顺序排列，则第2002个数是2011．
故答案为：2011．

点评：本题的思索重点是把自然数分为奇数和偶数去讨论，难点是根据数的奇偶性，确定大于8的偶数和大于13的奇数都需要被保留下来．