Question

（1）2²⁰除以7的余数是多少？
（2）14¹⁴除以11的余数是多少？
（3）28¹²¹除以13的余数是多少？

Answer 1

考点：带余除法

专题：余数问题

分析：（1）分别求出2³、2⁴、2⁵、2⁶…除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；
（2）首先根据14¹⁴=（11+3）¹⁴，可得14¹⁴除以11同余3¹⁴除以11；然后分别求出3³、3⁴、3⁵、3⁶…除以11的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；
（3）首先根据28¹²¹=（13×2+2）¹²¹，所以28¹²¹除以13同余2¹²¹，然后分别求出2⁴、2⁵、2⁶、2⁷…除以13的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．

解答： 解：（1）因为2³÷7=1…1，2⁴÷7=2…2，2⁵÷7=4…4，2⁶÷7=9…1，…
所以从2³开始，除以7的余数分别是1、2、4、1、2、4…，每3个一循环，分别是1、2、4，
因为（20-2）÷3=6，
所以2²⁰除以7的余数是4；

（2）根据14¹⁴=（11+3）¹⁴，可得14¹⁴除以11同余3¹⁴除以11，
因为3³÷11=2…5，3⁴÷11=7…4，3⁵÷11=22…1，3⁶÷11=66…3，3⁷÷11=198…9，3⁸÷11=596…5，…
所以从3³开始，除以11的余数分别是5、4、1、3、9、5…，每5个一循环，分别是5、4、1、3、9，
因为（14-2）÷5=2…2，
所以14¹⁴除以11的余数是4；

（3）根据28¹²¹=（13×2+2）¹²¹，所以28¹²¹除以13同余2¹²¹，
因为2⁴÷13=1…3，2⁵÷13=2…6，2⁶÷13=4…12，2⁷÷13=9…11，2⁸÷13=19…9，
2⁹÷13=39…5，2¹⁰÷13=78…10，2¹¹÷13=157…7，2¹²÷13=315…1，2¹³÷13=630…2，
2¹⁴÷13=1260…4，2¹⁵÷13=2520…8，2¹⁶÷13=5041…3，
所以从2⁴开始，除以13的余数分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，
每12个一循环，分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，
因为（121-3）÷12=9…10，
所以28¹²¹除以13的余数是2．

点评：此题主要考查了带余除法的性质的应用，以及同余定理的应用．