Question

已知在乘积1×2×3×…×N的尾部恰好有100个连续的“0”．N的最大值是

409

．

Answer 1

分析：因为10=2×5，尾部出现一个零，所乘的因数中就要有一个成对的“2”和“5”．因为所乘数为1至400中的连续自然数，因此，其中质因数2的个数远远多于质因数5的个数，这样，要让尾部恰好有100个连续的“0”，只需让所乘的因数中有100个质因数“5”．当N=400时，1，2，3，…．，400中共有5有倍数400÷5=80（个），其中25的倍数有400÷25=16（个），125的倍数有400÷125=3（个）．80+16+3=99；所以1×2×3×…×400中含有99个质因数2的个数多于99个．所以，1×2×3×…×400的尾部有99个连续的“0”．
现在还缺1个“0”，只要在400后面出现一个5（不是25、125…）的倍数．第一个出现的是405，而N必须最大，显然这个N应该是409．

解答：解：根据题干分析可得：当N=400时，1，2，3，…．，400中共有5有倍数400÷5=80（个），其中25的倍数有400÷25=16（个），125的倍数有400÷125=3（个）．
80+16+3=99；
所以1×2×3×…×400中含有99个质因数2的个数多于99个．
所以，1×2×3×…×400的尾部有99个连续的“0”．
现在还缺1个“0”，只要在400后面出现一个5（不是25、125…）的倍数．
所以400以后，第一个出现的5的倍数是405，
而N必须最大，显然这个N应该是409．
故答案为：409．

点评：解答此题的关键是根据质因数2和5的个数成对特点，得出：只需让所乘的因数中有100个质因数“5”即可使积的末尾恰好有100个0，据此分析即可解答问题．