Question

180的不同的约数有

 

个，不大于200的自然数中，有

 

个数有8个约数．

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：（1）首先找出180的约数有：1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180，一共有18个；
（2）恰有8个约数的自然数具有的形式是：abc或ab³或a⁷（a、b、c是不同的质数），从不大于200的自然数中，依次找出即可．

解答： 解：（1）首先找出180的约数有：
1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180，
一共有18个；

（2）恰有8个约数的自然数具有的形式是：abc或ab³或a⁷（a、b、c是不同的质数），

①恰有8个约数的自然数具有abc形式的有19个：
2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×3×17=102，
2×3×19=114，2×3×23=138，2×3×29=174，2×3×31=186；
2×5×7=70，2×5×11=110，2×5×13=130，2×5×17=170，2×5×19=190；
2×7×11=156，2×7×13=182，3×5×7=105，3×5×11=165，3×5×13=195；

②恰有8个约数的自然数具有ab³形式的有11个：
3×2³=24，5×2³=40，7×2³=56，11×2³=88，13×2³=104，17×2³=126，
19×2³=152，23×2³=184，2×3³=54，5×3³=135，7×3³=189；

③恰有8个约数的自然数具有a⁷形式的有1个：
2⁷=128；

所以，不大于200的自然数中，有8个约数的自然数的个数是：
19+11+1=31（个）．
故答案为：18、31．

点评：此题主要考查了约数个数问题，注意不能多数、漏数．