Question

如图①，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD的中点）按顺时针方向旋转：
（1）如图②，当EF与AB相交于M点，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的关系式，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与线段GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质可证明△OBM≌△OFN，所以根据全等的性质可知BM=FN；
（2）同（1）中的证明方法一样，根据正方形和等腰直角三角形的性质得OB=OF，∠MBO=∠NFO=135°，∠MOB=∠NOF，可证△OBM≌△OFN，所以BM=FN．

解答：解：（1）BM=FN．
证明：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
所以∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM与△OFN中，

∠ABD=∠F=45° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA），
所以BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立．
证明：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
所以∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
因为∠MBO=∠NFO=135°，
在△OBM与△OFN中，

∠ABD=∠F=45° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA），
所以BM=FN．

点评：本题考查旋转知识在几何综合题中运用，旋转前后许多线段相等，本题以实验为背景，探索在不同位置关系下线段的关系，为中考常见的题型．