如图1.在周长为140米的圆周上.线段AC.BD为两条互相垂直的直径.以AO.BO.CO.DO为直径作四个小半圆弧．甲.乙.丙分别从A.B.D同时出发.甲沿图2中路线.开始时按逆时针方向行走.速度为3米/秒,乙沿图3中路线.开始时按顺时针方向行走.速度为2米/秒,甲乙每次相遇后均立即掉头沿原路返回.且速度变为原来各自速度的2倍．丙一直沿� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，在周长为140米的圆周上，线段AC、BD为两条互相垂直的直径，以AO、BO、CO、DO为直径作四个小半圆弧．甲、乙、丙分别从A、B、D同时出发，甲沿图2中路线，开始时按逆时针方向行走（即：A→O→C→D→A），速度为3米/秒；乙沿图3中路线，开始时按顺时针方向行走（即：B→O→D→C→B），速度为2米/秒；甲乙每次相遇后均立即掉头沿原路返回，且速度变为原来各自速度的2倍．丙一直沿大圆周按顺时针方向行走，速度为2米/秒，那么经过

秒三人第一次相遇．

考点：多次相遇问题,有关圆的应用题

专题：传统应用题专题

分析：

题目中小半圆的直径等于大圆的半径，可知四个小半圆弧的长度均为大圆周长的

，通过观察三人的行走路线可知，三人第一次相遇地点应在劣弧CD上，由于甲乙两人运动较为复杂，回此要对这两人的相遇地点进行分析．
甲行走路线如图4所示，乙行走路线如图5所示（实线箭头表示出发到第一次相遇，虚线箭头表示从第一次相遇到二次相遇）出发时，V甲：V乙=3：2，从而第一次相遇时，两人所走路程比S甲：S乙=3：2，且从图形可和两人路程和是1

个在圆，从而乙路程为1

个大圆，即两人第一次相遇地点在D点．之后两人掉头原路返回，由于两人速度都变为原来的2倍，从而2V甲：2V乙=V甲：V乙=3：2，即两人的速度比不变，因此从第一相遇到第二次相遇两人的路程比仍为3：2，（两人方向一直相反，所以两人一直是迎面相遇），从第一次相遇到第二次相遇两人路程和为两个大圆的周长，其中乙走了2×

个大圆，可知两人第二次相遇点在大圆周长上D点顺时针1-

个大圆周长处，记为E点．从第二次到第三次相遇两人速度比仍为3：2，且两次相遇间两人路程和仍为两个大圆的周长，可知第三次相遇地点仍为D点，…，依此类推，可知甲乙二人奇数次相遇地点均在D点，偶数次相遇地点均在E点，且从第二次相遇开始，相邻两次相遇所需时间依次减半．据此计算即可．

解答： 解：如图4，图5：

题目中小半圆的直径等于大圆的半径，可知四个小半圆弧的长度均为大圆周长的

，通过观察三人的行走路线可知，三人第一次相遇地点应在劣弧CD上，甲行走路线如图4所示，乙行走路线如图5所示（实线箭头表示出发到第一次相遇，虚线箭头表示从第一次相遇到二次相遇）出发时，V甲：V乙=3：2，从而第一次相遇时，两人所走路程比S甲：S乙=3：2，且从图形可和两人路程和是1

个在圆，从而乙路程为1

个大圆，可知两人第二次相遇点在大圆周长上D点顺时针1-

个大圆周长处，记为E点．从第二次到第三次相遇两人速度比仍为3：2，且两次相遇间两人路程和仍为两个大圆的周长，可知第三次相遇地点仍为D点，…，依此类推，可知甲乙二人奇数次相遇地点均在D点，偶数次相遇地点均在E点，且从第二次相遇开始，相邻两次相遇所需时间依次减半．据此计算即可．
由大圆周长为140米，可知甲、乙二人第一次相遇在D点，相是时间是：140×1

÷（3+2）=35秒，此时两人走了2×35=70米，在B点，又经过140×2÷[（3+2）×2=28秒，甲、乙第二次相遇，相遇地点为E，此时丙又走了2×28=56米，还差14米到D，又经过28÷2秒，甲乙第三次相遇，相遇地点为D，此时丙又走了14×2=28米，在D点顺时针14米处，又经过14÷2=7秒，甲乙第四次相遇，相遇地点为E，此时丙又走了7×2=14米，即E点，此时即为三人第一次相遇，共用时间35+28+14++7=84秒．
故答案为：84．

点评：本题为难度较大的相遇问题，通过画图分析，找出他们相遇次数与相遇时间及相遇地点的规律是完成本题的关键．

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