Question

两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（如图）．如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：
（1）L的最大值是多少？
（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？

Answer 1

分析：固定平面上一条直线，其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算，只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线．否则，必有两条直线平行．

如图，将所有直线做平行移动，使它们交于同一个点，这样的平行移动显然不改变两条直线的“夹角”．无妨设其中一条直线水平，从水平直线开始，逆时针将12条直线分别记为第一条、第二条、…和第十二条直线．然后分以下情况讨论：
（1）第二条至第十二条直线与第一条直线的“夹角”和；
（2）第三条至第十二条直线与第二条直线相交的“夹角”和；
（3）第四条至第十二条直线与第三条直线相交的“夹角”和；
…；
（10）第十一条和第十二条直线与第十条直线相交的“夹角”和；
（11）第十二条直线与第十一条直线相交的“夹角”和．
进一步解决问题．

解答：解：固定平面上一条直线，其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算，只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线．否则，必有两条直线平行．

如图，将所有直线做平行移动，使它们交于同一个点，这样的平行移动显然不改变两条直线的“夹角”．无妨设其中一条直线水平，从水平直线开始，逆时针将12条直线分别记为第一条、第二条、…和第十二条直线．
（1）第二条至第十二条直线与第一条直线的“夹角”和是：
15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540 （度）；
（2）第三条至第十二条直线与第二条直线相交的“夹角”和是：
15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=（540-15）（度）；
（3）第四条至第十二条直线与第三条直线相交的“夹角”和是：
15+30+45+60+75+90+75+60+45=（540-15-30）（度）；
…；
（10）第十一条和第十二条直线与第十条直线相交的“夹角”和是（30+15）（度），
（11）第十二条直线与第十一条直线相交的“夹角”和是：15（度）；
将（2）和（11）、（3）和（10）、（4）和（9）、（5）和（8）、（6）和（7）配对，得到所有的“夹角”之和是6×540=3240 （度）．

点评：此题解答的关键在于：固定平面上一条直线，其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算，分情况讨论，解决问题．