Question

【题目】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）。

Answer 1

【答案】证明过程见详解。

【解析】

要证明：任意给定2008个自然数，其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）；可先将这2008个数依次排列然后进行求和，从而来判断是否有和是2008的倍数；若没有，则必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差（仍然是，，……中若干个数的和）是2008的倍数；据此解答。

把这2008个数先排成一行：，，……，

第1数为；

前2个数之和为＋；

前3个数之和为：＋＋；

……

前2008个数之和为＋＋＋…＋，

如果这2008个和中有一个是2008 的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008 的余数只能为1， 2，……2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差（仍然是，，……中若干个数的和）是2008的倍数，所以结论成立。