Question

一个纸片倒过来，0、1、8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转180°没意义．问，7位数转180°后不变的有

300

个，其中能被4整除的有

75

个，这些转180°后不变的7位数的总和是

1959460200

．

Answer 1

分析：根据题干分析可得，这个7位数

.

ABCDEFG

，旋转180度后不变，说明这个7位数是由0、1、8组成的，据此分别列举即可，再根据被4整除的数字特征解答问题．

解答：解：（1）若7位数

.

ABCDEFG

转 180°后不变，那么D一定是 0、1、8 中的一个，C 和 E、B 和 F、A 和 G，这三组每组内两个数字只能同时为 0、1 或 8，或者一个6，一个 9，这样只需要确定A、B、C、D这四个数字即可，
所以7位数转180°后不变的共有4×5×5×3=300（个）．

（2）在这其中能被4 整除的数末两位数只能是 00、08、16、60、68、80、88、96，
其中末尾为 00、80、60 的数转180°后首位为0，矛盾，排除．
所以其中能被4整除的数有 5×3×5=75（个）．
 
（3）A、G 这个位置上 1、8、6、9 各出现了 5×5×3=75（次），
B、C、E、F 这两个位置上，所有数字各出现 4×5×3=60 次，D 这个位置上，0、1、8 各出现 4×5×5=100 次，
所以所有转180°后不变的7位数的总和是：
24×75×1000001+24×60×110110+9×100×1000=1959460200．
答：7位数转180°后不变的有300个，其中能被4整除的有75个，这些转180°后不变的7位数的总和是1959460200．
故答案为：300；75；1959460200．

点评：首先根据0、1、8以及6与9旋转前后的位置关系，明确这几个自然数的位置和每个数字出现的情况数是完成本题的关键．