Question

设M，N都是自然数，记P_M是自然数M的各位数之和，P_N是自然数N的各位数之和．又记M_*N是M除以N的余数．已知M+N=1234，求（P_M+P_N）×9的值．

Answer 1

分析：根据同余定理和能被9整除的数的特征，（P_M+P_N）_*9的余数，也就是P_N÷9与P_M÷9的余数的和，也是（M+N）÷9的余数；因此不论M，N各是多少，只要M+N=1234，那么它的余数就可确定：（1+2+3+4）÷9=1…1；或可以把M，N，赋值求余数，如：设M=1200，N=34；然后解答即可．

解答：解：方法一：根据同余定理和能被9整除的数的特征，（P_M+P_N）_*9的余数，也就是P_N÷9与P_M÷9的余数的和，也是（M+N）÷9的余数；
所以（P_M+P_N）×9=（1+2+3+4）×9=10×9=1；
方法二：M，N无论取何值，只要M+N=1234，（P_M+P_N）×9的值就是相同的；
设M=1200，N=34；则有P_M=1+2+0+0=3，P_N=3+4=7；（P_M+P_N）×9=（3+7）×9=10×9=1．
答：（P_M+P_N）×9的值是1．

点评：本题的解答关键是：知道（P_M+P_N）×9与（M+N）=1234除以9的余数相同．