Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三对平行线的距离都是1，若AC=10，AB=8，BC=6，求三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．

Answer 1

分析：设该点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1，连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为24，于是有5+3b+4a=24可得b=

19-4a

3

，a+b+1=

22-a

3

然后再分情况进行讨论．

解答：解：设设点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1（1），连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为24，于是有5+3b+4a=24可得b=

19-4a

3

，a+b+1=

22-a

3

然后再分情况进行讨论．
当a=1时，a+b+1=7，取得最大值7；
若点P在B′C′边上，则同样方法可得a+c+=

a+26

5

＜

6+26

5

＜7．
若点P在A′B′边上，则同样方法可得b+c+1=

2

5

b+5，而易得b最大是5，所以此时距离和的最大值也是7．
综上，三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7；
答：三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是7．

点评：本题的重点是分P点在不同边上时的情况进行讨论．