Question

某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分．第一、二、三名的成绩是88、85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每个学生的分数都是自然数．问：至少有几个学生的得分不低于60分？

Answer 1

分析：根据题意可知，除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之间，其他人共得分：8250-（88+85+80）=7997（分）；为使不低于60分的人数尽量少，就要使低于60分的人数尽量多，即得分在30～59分中的人数尽量多，在这些分数上最多有 3×（30+31+…+59）=4005分（总分），因此，得 60～79分的人至多总共得7997-4005=3992分；如果得60分至79分的有60人，共占分数 3×（60+61+…+79）=4170，比这些人至多得分7997-4005=3992分还多178分，所以要从不低于60分的人中去掉尽量多的人．但显然最多只能去掉两个不低于60分的（另加一个低于60分的，例如，178=60+60+58）．因此，加上前三名，不低于60分的人数至少为61人．

解答：解：除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之间，其他人共得分：
8250-（88+85+80），
=8250-253，
=7997（分）；
为使不低于60分的人数尽量少，就要使低于60分的人数尽量多，即得分在30～59分中的人数尽量多，在这些分数上最多有：
3×（30+31+…+59），
=3×1335，
=4005（分），
因此，得 60～79分的人至多总共得7997-4005=3992（分）；
如果得60分至79分的有60人，共占分数：
3×（60+61+…+79），
=3×1390，
=4170（分），
比这些人至多得分7997-4005=3992（分）还多178分，所以要从不低于60分的人中去掉尽量多的人．
但显然最多只能去掉两个不低于60分的（另加一个低于60分的，例如，178=60+60+58）．
因此，加上前三名，不低于60分的人数至少为61人．
答：至少有61个学生的得分不低于60分．

点评：此题的关键是先算出30至79分之间的总分数，然后为使不低于60分的人数尽量少，就要使低于60分的人数尽量多，从而找出得 60～79分的人的总和，最后要从不低于60分的人中去掉尽量多的人，然后再加上前三名，从而确定不低于60分的人数．