Question

在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？

Answer 1

考点：数字和问题

专题：整除性问题

分析：①设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除；
②因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除．而90A=2×3²×5×A，A的取值范围是1至9这9个数字．利用穷举法即可推出符合条件的两位数．

解答： 解：设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除．
因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除．
因为90A=2×3²×5×A，根据A的取值，可以列举出所有符合题意的两位数如下表所示：

由上述列举可得，符合条件的两位数分别是：
10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90
10+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90
=（10+90）+（20+80）+（30+70）+（40+60）+50+15+45+18
=450+60+18
=528
答：所有满足条件的两位数之和是528．

点评：此题是利用字母表示数，抓住整除的性质进行推理得出90A能被10A+B整除，从而利用穷举法得出所有符合题意的两位数．