Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面积．

Answer 1

分析：（1）此题可以根据蝴蝶模型的原理解答，蝴蝶模型的原理如图，在任意四边形中，存在以下关系：①S₁：S₂=S₄：S₃或S₁×S₃=S₂×S₄ ②AO：OC=（S₁+S₂）：（S₄+S₃），也可以这样速记上×下=左×右，．
（2）此题也可通过作辅助线延长AF，交BC的延长线于M，构建三角形EMG，通过求同高三角形AEG与三角形EMC的底边的比，根据同高三角形底的比与面积比相等求出面积．

解答：解：（1）连接EF，因为BE=2EC，CF=FD，所以S_△DEF=（

1

2

×

1

3

×

1

2

）S_□ABCD=

1

12

S_□ABCD，
因为S_△AED=S_□ABCD，由蝴蝶定理，AG：GF=

1

2

：

1

12

=6：1．
所以S_△AGD=6S_△GDF=

6

7

S_△ADF=

6

7

×

1

4

S_□ABCD=

3

14

S_□ABCD．
所以S_△AGE=S_△AED-S_△AGD=

1

2

S_□ABCD-

3

14

S_□ABCD=

2

7

S_□ABCD=

2

7

．
（2）延长AF，交BC的延长线于M．

因为DF=CF；∠ADF=∠MCF=90°；∠AFD=∠MFC．
所以△ADF≌△MCF（ASA），AD=MC=BC．
又BE=2EC，则EC：BE=1：2，EC：BC=1：3=EC：AD=EC：CM=EC：AD．
故EM：AD=4：3=EG：GD，得EG：ED=4：7．
所以S_△AEG：S_△AED=EG：ED=4：7．（同高三角形的面积比等于底之比）
所以，=

4

7

S_△AED=

4

7

×

1

2

S_{正方形ABCD}=

4

7

×

1

2

×1²=

2

7

．

点评：本题主要考查相似三角形的面积，解题关键是通过辅助线构建同高三角形，然后根据蝴蝶原理解答，也可以根据同高三角形的面积比等于底边的比这一知识解决问题．