Question

我们把“n个相同的数a相乘”记为“aⁿ”，例如2³=2×2×2=8．
（1）计算：2⁹=

512

，5⁵=

3125

．
（2）观察以下等式：
（x-1）×（x+1）=x²-1
（x-1）×（x²+x+1）=x³-1
（x-1）×（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
由以上规律，我们可以猜测（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

．
（3）计算：3²⁰¹¹+3²⁰¹⁰+…+3+1．

Answer 1

分析：（1）根据乘方的运算法则计算即可；
（2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是n+1，所以（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．
（3）运用（2）的规律计算即可求解．

解答：解：（1）计算：2⁹=512，5⁵=3125．

（2）（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．

（3）3²⁰¹¹+3²⁰¹⁰+…+3+1，
=（3²⁰¹²-1）÷（3-1），
=

32012-1

2

．
故答案为：512，3125；xⁿ⁺¹-1．

点评：本题主要考查了数学归纳整理的能力，解题的关键要分析材料找到题目中规律从而由特殊例子总结出一般规律．