Question

线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色．这时，图中共有1997条互不重叠的线段．问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？

Answer 1

分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数，然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化，由于颜色的调整使任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了．

解答：解：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数；
将任意一个红点染成蓝点，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若是同色，则异色小线段的条数或者增加2条（相邻的两个点同为红色），或者减少2条（相邻的两点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若是异色，则异色小线段的条数不变；
综上所述，改变任意点的颜色，异色线段的条数的改变总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数．

点评：本题是操作推理问题，关键是利用“假设法”确定改变一个的颜色分两种情况讨论异色小线段的条数的变化．