Question

能将1，2，3，4，5，6，7，8，9填在3×3的方格表中（如图），使得横向与竖向任意相邻两数之和都是质数吗？如果能，请给出一种填法：如果不能，请你说明理由．

Answer 1

分析：由于1，3，5，7，9中任意两个奇数的和都是合数，所以1，3，5，7，9只能填在表的四角和中心，而偶数2，4，6，8填在★处，中间所填的奇数要与2，4，6，8横向或竖向相邻，即中间所填的奇数与2，4，6，8之和都要是质数；再根据1+8=9是合数，3+6=9，5+4=9，7+2=9，9+6=15，都是合数得出矛盾，从而得解．

解答：解：奇数1，3，5，7，9中任两个之和都大于2的偶数，因而是合数，所以在填入3×3的表格时它们中任两个横向、竖向都不能相邻．如果满足题设条件的3×3表格的填法存在，那么奇数1，3，5，7，9只能填在表的四角和中心，而偶数2，4，6，8填在★处，于是中间所填的奇数要与2，4，6，8横向或竖向相邻，即中间所填的奇数与2，4，6，8之和都要是质数．然而，这是不可能的，原因是：
1+8=9是合数，3+6=9是合数，5+4=9是合数，7+2=9是合数，9+6=15是合数，
所以在3×3表格中满足题设要求的填法是不存在的．

点评：先根据两个不同时是1的奇数相加的和是大于2偶数，也是合数，找出奇数和偶数在图中的位置，再找出中间所填数与周围偶数的和都必须是质数，从而得出矛盾进行求解．