Question

包含0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：
（1）它能分别被1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12整除；
（2）它与2004的和能被13整除；
那么这样的“十全数”中最小的是

 

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Answer 1

分析：首先，0+1+2+…+8+9=45，故任意十个数字的排列均可被3和9整除；其次，此数要能被2和5、10整除，故末位必须是0；由于要求此数最小，故小的数字放前面，大的数字尽量放后面，假定前4位数为1234；又此数能被8整除，故倒数第二位数应为偶数，且尽量大，取8；同理，倒数第三位数取6；因此，此数形式为1234…680，满足该形式的数一定能被1、2、3、4、5、6、8和9整除；现在把5、7、9三个数字填入空位，使其能被7整除，且最小即可，然后检验能否被11、12整除，解决问题．

解答：解：1、因为0+1+2+…+8+9=45，故任意十个数字的排列均可被3和9整除；
2、其次，此数要能被2和5、10整除，故末位必须是0；
3、由于要求此数最小，故小的数字放前面，大的数字尽量放后面，假定前4位数为1234；
4、又此数能被8整除，故倒数第二位数应为偶数，且尽量大，取8；同理，倒数第三位数取6；
综上所述，此数形式为1234…680，满足该形式的数一定能被1、2、3、4、5、6、8和9；
现在把5、7、9三个数字填入空位，使其能被7整除，且最小即可，通过检验，1234759680能被11、12整除．
因此这样的“十全数”中最小的是1234759680．
故答案为：1234759680．

点评：此题运用了整除知识以及数论综合解决问题．