Question

甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走．谁所得到的数是零，就算谁赢．如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略？

Answer 1

考点：最佳对策问题

专题：数学游戏与最好的对策问题

分析：要求现在让甲先走，他应该怎样做才能保证一定取得胜利，只要甲每次都减去其中的个位数，保证个位为0，这样另一个选手只能减去除个位外的其他某一位，这是个位又必不为0，此时我们继续减去个位；依此类推，减到只剩个位数的时候，就是甲的胜利之时．甲先把4拿走，剩的为十的倍数，无论乙拿什么，甲对应都拿个位上的数．甲必胜．

解答： 解：总是减去新数的个位数，使甲取得的数个位为0．换句话说，甲除了第一步必先减4外，以后每轮跟随乙，乙减去X，甲就减去10-X．
甲必先减4，得1990，
乙此时只能减1或9，得1989或1981，
甲此后必减去乙所得数的个位数，从而使得到的数个位为0．例如此轮甲减9得1980，
乙此时无论减1还是9或8，必使个位不为0．例如此轮乙得197X（1971、1979或1972无所谓），
甲得：1970，
乙得：196X，
甲得：1960，
如此直到…
乙得：11X，
甲得：110，
乙得：109，
甲得：100，
乙得：99，
甲得：90，
…
乙得：27，
甲得：20，
乙得：18，
甲得：10，
乙得：9，
甲得：0，
最终甲必胜．
答：总是减去新数的个位数，使甲取得的数个位为0．

点评：要求现在让甲先做，他应该怎样做才能保证一定取得胜利，只要甲每次都减去其中的个位数，保证个位为0，这样另一个选手只能减去除个位外的其他某一位，这是个位又必不为0，此时我们继续减去个位；依此类推，减到只剩个位数的时候，就是甲的胜利之时．