Question

如果a_n+1=

1

1+ 1 an

（n=1，2，3，…，2014），那么当a₁=1时，a₁×a₂+a₂×a₃+a₃×a₄+…+a₂₀₁₃×a₂₀₁₄的值是多少？

Answer 1

考点：算术中的规律

专题：探索数的规律

分析：根据a_（n+1）=

1

1+ 1 an

，可以通过通分进行变形为a_（n+1）=

an

an+1

，两边同时乘以an+1得：a（n+1）an+a（n+1）=an，所以有a（n+1）an=an-a（n+1），且a1=1从而原式a₁×a₂+a₂×a₃+a₃×a₄+…+a₂₀₁₃×a₂₀₁₄=a1-a2+a2-a3+a3-a4+a4-a5+…+a2013-a2014=a1-a2014，由于a（n+1）an=an-a（n+1），
所以

1

a(n+1)

-

1

an

=1，可以设bn=

1

an

，从而b1，b2，b3…是等差为1的等差数列，所以bn=b1+（n-1）×1，即

1

an

=

1

a1

+（n-1）×1，故an=

1

n

，所以a2014=

1

2014

，所以a₁×a₂+a₂×a₃+a₃×a₄+…+a₂₀₁₃×a₂₀₁₄=a1-a2+a2-a3+a3-a4+a4-a5+…+a2013-a2014=a1-a2014=1-

1

2014

=

2013

2014

，此题得解．

解答： 解：因为a_（n+1）=

1

1+ 1 an

所以a（n+1）=

an

an+1

a（n+1）×an+a（n+1）=an
a（n+1）×an=an-a（n+1）
又因为a₁=1
所以a₁×a₂+a₂×a₃+a₃×a₄+…+a₂₀₁₃×a₂₀₁₄=a1-a2+a2-a3+a3-a4+a4-a5+…+a2013-a2014=a1-a2014
由于a（n+1）×an=an-a（n+1），
所以

1

a(n+1)

-

1

an

=1
设bn=

1

an

，从而b1，b2，b3…是等差为1的等差数列，
所以bn=b1+（n-1）×1
即

1

an

=

1

a1

+（n-1）×1
故an=

1

n

，a2014=

1

2014

所以a₁×a₂+a₂×a₃+a₃×a₄+…+a₂₀₁₃×a₂₀₁₄=a1-a2+a2-a3+a3-a4+a4-a5+…+a2013-a2014=a1-a2014=1-

1

2014

=

2013

2014

答：结果是

2013

2014

．

点评：本题的关键是把已知等式进行变形找出a（n+1）×an=an-a（n+1）这个关系式，把结果转化为a1-a2014，再变形转化为以

1

a(n+1)

-

1

an

=1，进行假设化为等差数列，求出an=

1

n

．