Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10　…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16　…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是

 

（填序号）
①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31．

Answer 1

考点：算术中的规律,数列中的规律

专题：探索数的规律

分析：题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和；正方形数可以用代数式（n+1）²表示，两个三角形的数分别可以表示为

1

2

n（n+1）和

1

2

（n+1）（n+2），所以由正方形的数可以推得n的值，然后求出三角形的数．

解答： 解：根据规律：正方形数可以用代数式表示为：（n+1）²表示，
两个三角形的数分别可以表示为

1

2

n（n+1）和

1

2

（n+1）（n+2），
①：13不是正方形数，不合题意；

②：25=5²=（4+1）²，n=4，
两个三角形的数分别是：

1

2

×4×（4+1）=10，

1

2

×（4+1）×（4+2）=15；
不合题意；

③：36=6²=（5+1）²，n=5；
两个三角形的数分别是：

1

2

×5×（5+1）=15，

1

2

×（5+1）×（5+2）=21；
符合题意；

④：49=7²=（6+1）²，n=6；
两个三角形的数分别是：

1

2

×6×（6+1）=21，

1

2

×（6+1）×（6+2）=28；
不合题意；
只有③正确．
故答案为：③．

点评：关键是找清楚三角形数和正方形数的关系，以及它们的通项公式，从而进行求解．