Question

甲，乙两人进行了下面的游戏．两人先约定一个整数N．然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这十个数字之一填入下面的任一方格中

1

4

2

1

4

2

每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜．设N小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜？

Answer 1

分析：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜．N=5，甲就可以在六位数的个位填一个不是0或5的数，甲就获胜．如果N=1，很明显乙必获胜；如果N=3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和凑成3的整数倍或9的整数倍，因此乙必获胜，N=7，11，13时是本题最困难的情况，因为我们知道1001=7×11×13，乙就有一种必胜的方法．我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填写的六位数能被1001整除（abcabc=abc×1001），这个六位数就能被7、11或13整除，故乙就能获胜．综合起来，使乙获胜的N是1，3，7，9，11，13．

解答：解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜．
N=5，甲就可以在六位数的个位填一个不是0或5的数，甲就获胜．
上面已经列出了乙不能获胜的N的取值情况．
如果N=1，很明显乙必获胜．
如果N=3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和凑成3的整数倍或9的整数倍，因此乙必获胜．
当N=7，11，13时是本题最困难的情况，因为我们知道1001=7×11×13，乙就有一种必胜的方法．我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填写的六位数能被1001整除（abcabc=abc×1001），这个六位数就能被7、11或13整除，故乙就能获胜．
综合起来，使乙获胜的N是1，3，7，9，11，13；
答：当N取1、3、7、9、11、13这几个数时，乙才能取胜．

点评：利用分类取值的方法，牢记1001=7×11×13，是解决此题的关键．