Question

一个圆上有12个点A₁，A₂，A₃，…，A₁₁，A₁₂．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法？

Answer 1

分析：利用递推的方法，结合图表依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，进而得出结论．

解答：解：（1）如果圆上只有3个点，那么只有一种连法；
（2）如果圆上有6个点，除A₁所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A₁在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法． （3）如果圆上有9个点，考虑A₁所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：①A₁所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上；在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧；如果是情形①，则由（2），这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法；共有12种连法．


（4）最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A₁所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：①9个点都在同一段弧上；②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；③每三个点在A₁所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3；共有12×3+3×6+1=55种．

所以共有55种不同的连法．

点评：本题主要是利用递推的方法，依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，即采用了化难为易的方法解答．