Question

有甲、乙、丙、丁四个人，各对某个两位整数的性质用两句话表述：
甲：“用2除余1”，“用3除余2”．
乙：“用4除余3”，“用5除余4”．
丙：“用6除余5”，“用7除余6”．
丁：“用8除余7”，“用9除余8”．
已知四人中每个人都只说对了一句话，而另一句话是错的．请问这个两位整数是几？

Answer 1

分析：通过观察可以发现四个人的第一句话中除数都是偶数，余数都是奇数；而第二句话中除数都是奇数余数都是偶数．解答此题时要分析除数与余数的特点，利用我们所学的整除知识，先假设再排除，通过否定与肯定的层层深入推出正确的结论．

解答：解：将甲的第一句话用甲-①，第二句话用甲-②表示．
（1）先假设甲-①是错的．
如果甲-①是错的，乙-①所说的整数用4除余3，如果用2除会怎样呢？
用4除余3的整数，也可以说成是4的倍数加上余数3 的整数．4是2的倍数，那么能被4整除的数也一定能被2整除，余数是3，3被2除余1．
因此甲-①，乙-①所说的内容相同，既他们说的都是错的．用同样的思考方法可以说明丙-①和丁-①也都是错的．这时可以肯定甲-②、
乙-②、丙-②、丁-②、是正确的．
从各句话的除数与余数的关系来看，所有话中的余数都是除数减1，因此满足甲-②、乙-②、丙-②、丁-②条件的整数应该是3、5、7、9的公倍数减1的整数，而这样的整数最小的是314，不符合题目要求．
（2）假设甲-②是错误的，根据（1）的思路可知，丙-①、丁-②也是错误的，
因为丁-②是错的，则丁-①是正确的，
即甲-①，乙-①，丙-②，丁-①都是正确的，
则符合条件的是2、4、7、8的公倍数减1的整数，
经验证，这个数是56-1=55．
所以这个两位整数是55．

点评：在逻辑推理问题中，两件相互矛盾对立的事情，如果其中一件是错的，则另一件一定是对的．