Question

17．将自然数按照其个位数字可分为10类：个位数是1为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．
（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有两个数的和是10的倍数吗？
（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有两个数的和是10的倍数吗？
如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例．

Answer 1

分析 （1）要证明其中必有两个数，其和是10的倍数，只要把自然数分成六组（相当于6个抽屉）：0、5、1+9=10、2+8=10、3+7=10、4+6=10，然后根据运用抽屉原理进行分析解答即可；
（2）承接上题证明：任意取出6个互不同类的自然数，不能保证其中一定有两个数的和是10的倍数，但是任意取出7个互不同类的自然数，可以保证其中一定有两个数的和是10的倍数．

解答 解：（1）我们把自然数分成六组：
①个位数为：0；②个位数为：1+9=10；③个位数为：2+8=10；④个位数为：3+7=10；⑤个位数为：4+6=10；⑥个位数为：5；
从最不利的情况考虑，取出六个数，每组都有一个，没有任何两个数的和是10的倍数，
所以，任意取出6个互不同类的自然数，不能保证其中一定有两个数的和是10的倍数．
答：任意取出6个互不同类的自然数，不能保证其中一定有两个数的和是10的倍数．

（2）承接上题证明：
任意取出6个互不同类的自然数，不能保证其中一定有两个数的和是10的倍数．
如果，再取一个数，一定有一组的数与其相加和是10，即是10的倍数；
所以，至少任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有两个数的和是10的倍数；
答：任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有两个数的和是10的倍数．

点评 此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”（分为六组），把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答．