Question

有一个小于2000的四位数，它恰好含有14个因数，其中有一个质因数的末位数字是1，求这个四位数．

Answer 1

分析：约数个数14=2×7=1×14，所以这个四位数分解成质因数的积=x⁶×y，或者分解质因数的积=x¹³，因为2¹³=8192，大于2000所以这个不符合题意，则分解质因数的积只能是x⁶×y，据此讨论x、y的取值即可解答问题．

解答：解：根据题干分析可得：约数个数14=2×7（符合题意）=1×14（不符合题意），
所以这个四位数分解成质因数的积=x⁶×y，
x不可能是末位为1的质因数（因为末位为1的最小质因数11都使得11⁶＞2000了），
又因为质因数3使得3⁶=729，y取末位为1的最小质因数11，也使3⁶×11=8019＞2000了，
所以x只能是2；
取y=11时，则2⁶×11=704是三位数，
取y=31时，则2⁶×31=1984，正好是小于2000的四位数；
而y=41时，则2⁶×41=2624＞2000，所以这个四位数只能是1984，
答：这个四位数是1984．

点评：解答此题的关键是根据约数和定理确定出这个四位数分解质因数的乘积是x⁶×y，据此分析x、y的取值即可解答．