Question

现在有溶液两种，甲为50%的溶液，乙为30%的溶液，各900克，现在从甲、乙两溶液中各取300克，分别放到乙、甲溶液中，混合后，再从甲、乙两溶液中各取300克，分别放到乙、甲溶液中，…，
问（1）第一次混合后，甲、乙溶液的浓度各是多少？
（2）第四次混合后，甲、乙溶液的浓度各是多少？
（3）猜想，如果这样无穷反复下去，甲、乙溶液的浓度将是多少？

Answer 1

（1）从甲中取出的300克，含有溶质：300×50%=150（克），
甲剩余溶质（900-300）×50%=300（克）
从乙中取出的300克，含有溶质300×30%=90（克），乙剩余溶质（900-300）×30%=180（克）；
混合后，甲含溶质300+90=390（克），
浓度为：390÷900×100%≈43.33%；
乙含溶质：180+150=330（克），
浓度为330÷900×100%≈36.67%；
答：第一次混合后的甲的浓度是43.33%，乙的浓度是36.67%．

（2）观察一下这个结果，发现在混合之前，甲总共含有溶质900×50%=450（克），混合后为390克，少了60克；
在混合之前，乙总共含有溶质900×30%=270（克），混合后为330克，多了60克；
得出结论：60克溶质发生了转移，而且60=300×（50%-30%），
也就是说，转移的溶质=初始浓度差×300；
第二次浓度差：43.33%-36.67%=6.66%．
转移溶质300×6.66%=19.98（克），
甲浓度（900×43.33%-19.98）÷900×100%≈41.11%，
乙浓度（900×36.67%+19.98）÷900×100%≈38.89%；
第三次浓度差：41.11%-38.89%=2.22%；
甲浓度（900×41.11%-300×2.22%）÷900×100%=40.37%，
乙浓度（900×38.89%+300×2.22%）÷900×100%=39.63%；
第四次浓度差：40.37%-39.63%=0.74%；
300×0.74%=2.22（克）；
甲的浓度是：（900×40.37%-2.22）÷900×100%≈40.12%；
乙的浓度是：（900×39.63%+2.22）÷900×100%≈39.88%；
答：第四次混合后，甲溶液的浓度是40.12%，乙的浓度是39.88%．

（3）从上面的推理可以看出，两者的浓度是越来越接近的，所以说无限次混合，必然是甲乙浓度相等，均为：
（900×50%+900×30%）÷（900×2）×100%=40%．
答：如果这样无穷反复下去，甲、乙溶液的浓度将是40%．