Question

阿奇和8个好朋友去李老师家玩，李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．
李老师在纸上写了一个自然数A，问这9位同学：“你们知道自己帽子上的数能否被A整除吗？知道的请举手，”结果有4人举手．
李老师又问：“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？知道的请举手．”结果有6人举手．
已知阿奇两次都举手了，并且这9位同学都足够聪明且从不说谎．请问：除了阿奇之外的人帽子上8个两位数的总和是多少？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：通过有4人举手，我们可以分析一下，为什么这4人会举手？肯定是这4人看到了A的两位数的所有倍数，从而判断自己不是A的倍数，所以这四人才能肯定的举手说明这四人一定知道自己头上的数不是A的倍数，由于是4人举手其他5人没有举手，说明A的两位的倍数只有5个，并且全部出现在这9人里面．所以A只可能是17、18、19这三个数里面的一个．
并且小明举了手，说明小明的数肯定不是A的倍数．
通过还是有小明在内的6人举手，也同样的分析24的四个倍数24、48、72、96．并且小明举了手，小明肯定也不是24的倍数．
通过小明的再次举手说明小明既看到了A的5个倍数，同时也看到了24的四个倍数，即小明看到了9个数才能确保自己两次举手．而全部一共只有9个数，如果小明看到了9个不同的数再加上自己的数共有10个数了，所以我们分析肯定是24的倍数与A的倍数有一个重合了．而24的四个倍数里面只有72是18的倍数，其他数即不是17的倍数也不是19的倍数．
所以我们现在可以确定A是18．
即小明看到的数是18、36、54、72、90、24、48、96它们和是438．

解答： 解：知道自己帽子上的数能否被A整除的人=知道自己的帽子的数不能被A整除，也就是说9个两位数只有5个能被A整除，所以5A≤99，6A＞100，所以A只能在17～19中取数．
同理，知道自己帽子上的数能否被24整除的人=知道自己的帽子的数不能被24整除，24的倍数有24，48，72，96，按理应该有5人举手才对，那么说明至少有一个人肯定知道自己能被24整除，同时也说明了A只能是18，因为24的倍数里72能同时被18整除．
所以，其他8个人帽子上的两位数分别是：18，36，54，（72），90，24，48，96，所以总和是438

点评：此题运用数的整除特征以及判断推理，解决问题．