Question

求方程

1

a

+

1

35

=

1

b

的所有正整数解．

Answer 1

考点：不定方程的分析求解

专题：不定方程问题

分析：首先把原方程转化为a=

35b

35-b

=

35b-35×35+35×35

35-b

=

35×35

35-b

-35，然后根据a、b都是正整数，求出35-b的取值范围，并确定b的取值范围；最后根据b的取值范围，分类讨论确定b的值，进而求出a的值即可．

解答： 解：因为

1

a

+

1

35

=

1

b

，
所以a=

35b

35-b

=

35b-35×35+35×35

35-b

=

35×35

35-b

-35，
因为原方程有正整数解，
所以a＞0，b＞0，
因此0＜35-b＜35，
则0＜b＜35；
因为a有正整数解，
所以35-b能整除35×35，
①当35-b=5时，即b=30时，a=

35×30

5

=210；
②当35-b=7时，即b=28时，a=

35×28

7

=140；
③当35-b=25时，即b=10时，a=

35×10

25

=14；
综上所述，

a=14 b=10

、

a=140 b=28

和

a=210 b=30

是原方程的解．

点评：此题主要考查了二元一次方程的分析求解，解答此题的关键是首先确定b的取值范围．