Question

【题目】已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.

（Ⅰ）若f(x)＝，求x的值；

（Ⅱ）若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x＝1 （2）[－5，＋∞)

【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义分类求解方程，注意2x与互为倒数 （2）利用平方差公式将不等式化简并分离得m≥－(22t＋1)，最后根据求－(22t＋1)最大值，得实数m的取值范围．

试题解析：解：（Ⅰ）当x＜0时，f(x)＝0，无解；

当x≥0时，f(x)＝2x－，

由2x－＝，

得2·22x－3·2x－2＝0，

将上式看成关于2x的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝－，

∵2x＞0，∴x＝1

（Ⅱ）当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，

∴m≥－(22t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．