Question

用两个一样的直角三角形和一个等腰直角三角形（腰等于前两个直角三角形的斜边）可以拼成一个直角梯形．如图．如果直角三角形的边长分别是3、4、c或5、12、d、（c、d为斜边），根据梯形的面积等于3个三角形面积之和，比较三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方之间的大小关系，你能发现什么？如果直角三角形的边长是a、b、c时，（c为斜边），你又能发现什么？[提示：（a+b）2=a²+2ab+b²]．

Answer 1

考点：三角形面积与底的正比关系

专题：传统应用题专题

分析：（1）首先根据直角三角形的面积公式，分别求出三个直角三角形的面积，然后根据梯形的面积公式，求出梯形的面积；最后根据三个直角三角形的面积和=梯形的面积，判断出三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方之间的大小关系，进而总结出规律即可；
（2）根据总结出的规律，判断出直角三角形的边长是a、b、c时，（c为斜边），能发现什么关系即可．

解答： 解：（1）当直角三角形的边长分别是3、4、c时，
三个直角三角形的面积和是：
3×4÷2×2+c×c÷2
=12+

c

2

2
梯形的面积是：
（3+4）×（3+4）÷2
=7×7÷2
=24.5
所以12+

c

2

2=24.5，
解得c²=25=3²+4²；

当直角三角形的边长分别是5、12、d时，
三个直角三角形的面积和是：
5×12÷2×2+d×d÷2
=60+

d2

2

梯形的面积是：
（5+12）×（5+12）÷2
=17×17÷2
=144.5
所以60+

d2

2

=144.5，
解得d²=169=5²+12²；
综上，可得三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．

（2）根据三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
可得直角三角形的边长是a、b、c时，
c²=a²+b²…①，
根据三角形的面积和=梯形的面积，
可得ab÷2×2+c²÷2=（a+b）×（a+b）÷2…②，
①代入②，可得（a+b）²=a²+2ab+2ab．

点评：解答此题的关键是熟练掌握三角形、梯形的面积公式，并注意根据已知的算式，总结出规律，并能正确应用规律．