Question

从1、2、3、…、100这100个数中任意挑出51个数字，证明在这51个数中，一定：
（1）有2个数互质；
（2）有2个数的差为50；
（3）有8个数，它们的最大公约数大于1．

Answer 1

解：（1）因为相邻的两个自然数一个奇数、一个是偶数，相差1，
所以这两个数必定是互质数，1、2、3、…、100这100个数中，
考虑最优情况：从1到100这100个数中，挑出的50个数字分别是2、4、6、8、10…100，都不互质，
则再任意挑出1个数，则必定与这50个偶数中一个数相邻，是互质数，

（2）构造如下50个抽屉：（1，51），（2，52），（3，53）…（50，100）；
从这50组中选出51个数，由抽屉原理，必有一组选了两个数，而这两个数的差就是50，据此得证．

（3）把1到100这100个数分组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；
第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；
第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；
第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；
第五组：1和大于7的质数，即{1，11，13，…，97}．
第五组中一共有22个数，所以选出的51个数中至少有29个数在第一组到第四组中，
根据抽屉可以知道总会有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1，据此得证．
分析：（1）因为相邻的两个自然数一个奇数、一个是偶数，相差1，所以这两个数必定是互质数，1、2、3、…、100这100个数中，考虑最优情况：挑出的50个数字分别是2、4、6、8、10…100，都不互质，则再任意挑出1个数，则必定与这50个偶数中一个数相邻，是互质数，据此即可解答；
（2）将1至100分成50组（即50个抽屉）：（1，51）（2，52）（3，53）（4，54）…（50，100）；根据抽屉原理，进行分析即可．
（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}； 第五组：1和大于7的质数，即{1，11，13，…，97}．据此利用抽屉原理即可解答．
点评：此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可．