Question

如图，当n=1时，图中有1个圆；当n=2时，图中有7个圆；当n=3时，图中有19个圆；…，按此规律，当n=5时，图中有________个圆．

Answer 1

61
分析：所构成的图形是轴对称图形，沿中间的一列分开，两边对称，最左边的一行是n个圆，后面每一列比前面的每一列多一个，直到中间的一列，中间的一排是2n-1个．中间的后面的每排依次减少．
解答：最左边的一列是n，第二列是n+1，第三列是n+2，…，第n列是2n-1；
第n列以后，各列的个数分别是2n-2，2n-3…，n．
则第n个图形的圆的个数是：
n+（n+1）+…（2n-1）+（2n-2）+（2n-3）+…+n
=2[n+（n+1）+（n+2）+…+（2n-2）]+（2n-1）
=（n-1）[n+（2n-2）]+（2n-1）
=3n²-3n+1．
所以当n=5时，图中有圆：3×5²-3×5+1，
=3×25-15+1，
=75-15+1，
=61（个），
答：当n=5时，图中有圆61个．
故答案是：61．
点评：本题考查了图形的变化规律，可以用圈数表示为：1+6×1+6×2+6×3+…+6×（n-1））解决问题．