Question

一个自然数的七进制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．则这个自然数是

 

．

Answer 1

考点：其它进制问题

专题：进制问题

分析：设这个七进制表达式是：

.

abc

，那么这个九进制表达式就是：

.

cba

，把它们都转化为十进制，列出等量关系式为化简：49a+7b+c=81c+9b+a，然后根据a，b，c的取值范围求出a，b，c的值，代入十进制的关系式即可求出这个自然数．

解答： 解：设这个七进制表达式是：

.

abc

，那么这个九进制表达式就是：

.

cba

，

.

abc

（7）=a×7²+b×7¹+c×7⁰=49a+7b+c

.

cba

（9）=c×9²+b×9¹+a×9⁰=81c+9b+a
因为：转化为十进制后都表示同一个自然数，
所以：49a+7b+c=81c+9b+a
化简得：24a=40c+b
          b=8（3a-5c）
因为a，b，c都小于7，所以在b=8（3a-5c）中，（3a-5c）只能等于0，即b=0，
3a-5c=0
   3a=5c
则：a=5，c=3
这样可得：a=5，b=0，c=3
所以这个自然数为：
49a+7b+c
=49×5+7×0+3
=248
答：这个自然数是248．

点评：本题是比较复杂的进制问题的相互转化，难点是在七进制和九进制都转化为十进制的基础上建立等量关系列出方程，求出三个数字的值．