Question

阅读所给材料，并解答问题．
通过计算，我们可知道以下关系式：

1

2

=

1

1×2

=1-

1

2

   

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

   …
由此，我们能够推断：

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（补全关系式，其中n是不为0的自然数）
（1）依上述关系式，我们可直接得出

1

2

+

1

6

+

1

12

=

（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）．

（2）根据前面的分析，利用得到的规律和方法计算．

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

．

Answer 1

分析：通过计算，我们可知道以下关系式：

1

2

=

1

1×2

=1-

1

2

、

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

、

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

   …，由此可得由此，我们能够推断：

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
然后据此关系式完成（1）（2）即可．

解答：解：由题目中所给关系式可得：

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（1）依上述关系式，我们可直接得出

1

2

+

1

6

+

1

12

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）．
（2）

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

=（

1

5

-

1

6

）+（

1

6

-

1

7

）+（

1

7

-

1

8

）+（

1

8

-

1

9

），
=

1

5

-

1

6

+

1

6

-

1

7

+

1

7

-

1

8

+

1

8

-

1

9

，
=

1

5

-

1

9

，
=

4

45

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

、（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）．

点评：关系式

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

在分数的巧算中经常用到，要熟练掌握．