Question

三个质数的乘积恰好等于它们和的5倍，这三个质数分别是多少？

Answer 1

考点：合数与质数

专题：数的整除

分析：设这三个质数为a、b、c，三个质数的乘积恰好等于他们和的5倍，由此可得等式：abc=5（a+b+c）因为a，b，c都是质数，而右边的乘积中有5，也是质数，所以a，b，c中必有一个数是5，不妨设a=5，然后化简此等式进行分析验证即可．

解答： 解：设这三个质数为a、b、c
可得等式：abc=5（a+b+c）
又5也是质数，所以a，b，c中必有一个数是5
设a=5
即5bc=5（5+b+c）
bc=5+b+c，
①当b、c中含有质数2时，不妨令b=2
2c=5+2+c，解得c=7，符合题意．
②当b、c中不含有质数2，即b c都是奇数时，不妨令：
b=2M+1，c=2N+1，有：
（2M+1）（2N+1）=11+2M+1+2N+1
即4MN=12，MN=3
显然只能是M=3、N=1
此时b=2×3+1=7，B=1×2+1=3，不符合题意．
综上，这三个质数可以是：2、5、7．
答：这三个质数分别是2、5、7．

点评：首先根据题意明确这三个质数之中必有一个是5，然后以此为突破口列出等式进行分析是完成本题的关键．