Question

由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由．

Answer 1

分析：不能．设放的最小自然数为a，则放的最小自然数为a+23．得到这24个自然数的和为A=12（2a+23）．假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S．因为共有5个正方形，这些和的和为5S．因为每个数在这些和中出现两次，所以5S=2A．记最小的16个数的和为B，则B=8（2a+15）．再分两种情况讨论：（1）B≤S；（2）B＞S即可求解．

解答：解：不能．
设放的最小自然数为a，则放的最小自然数为a+23．
这24个自然数的和为A=12（2a+23）．
假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S．
因为共有5个正方形，这些和的和为5S．
因为每个数在这些和中出现两次，
所以5S=2A．
记最小的16个数的和为B，则B=8（2a+15）．
分两种情况讨论：
（1）若B≤S，则
S=

2

5

A=

24

5

（2a+23）≥8（2a+15），
9.6a+110.4≥16a+120，
不存在自然数a使得不等式成立．
（2）若B＞S也是不可能的，
因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使这16个数的和等于S．

点评：考查了数字和问题，本题运用了整体思想和分类思想，难度较大．