Question

分母为1992的所有最简分数之和是多少？

Answer 1

分析：因为1992=3×8×83，因此分母为1992的最简分数的分子不能是2的倍数、3的倍数和83的倍数．写出这样的分数，再计算．

解答：解：分母为1992，分子不是2或3的倍数且小于1992的所有分数是：

1

1992

、

5

1992

、

7

1992

、

11

1992

、

13

1992

、…、

1985

1992

、

1987

1992

、

1991

1992

；
这些数可以分成两类：一是分子被6除余1，二是分子被6除余5，即

S₁=

1

1992

+

7

1992

+

13

1992

+…+

1987

1992

；
S₂=

5

1992

+

11

1992

+…+

1985

1992

+

1991

1992

；
其中含有分子是83的倍数，这S1与S2的和减去这些倍数即为所求．
S1、S2的分子成等差数列，S1的分子为1、7、13、、1987，共有（1987-1）÷6+1=332个数，S2的分子为5、11、17、、1985、1991，共有（1991-5）÷6+1=332个数，所以
S₁+S₂=

83

1992

-

83×5

1992

-

83×11

1992

-

83×13

1992

-…-

83×23

1992

，
=

1

1992

×（1+7+13+…+）+

1

1992

×（5+11+17+…+1991）-

83

1992

×（1+5+7+13+17+19+23），
=

1

1992

×

(1+1987)×332

2

+

1

1992

×

(5+1991)×332

1992

-

83

1992

×96，
=

497

3

+

499

3

-4，
=328．
答：和是328．

点评：写出这样的数组成数列，再根据数列找出规律，再计算即可．