Question

将△ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？

Answer 1

分析：将平行四边形分为三类：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方．就①类而言：由两个三角形组成的平行四边形是6个，由4个三角形组成的是3个；与其对称的3个，由6个三角形组成的是1个，与其对称的1个，由8个三角形组成的是1个．共15个．同理第②、第③类也分别是15个，由此解答．

解答：解：将平行四边形分为三类：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方．
①尖角在上、下方的平行四边形有：6+3+3+1+1+1=15（个）；
同理，第②、③类也分别含15个，
故上述三类平行四边形共有：15×3=45（个）．
答：图中一共有45个平行四边形．
[注]这样数平行四边行，很麻烦，又易出错．我们试图找到一种对应关系：先考虑任一边不与BC平行的平行四边形，延长各边必与BC有4个交点，特殊情况下，第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多．
由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即边不平行于BC的平行四边形有15个．
同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行．
由此可知，共有45个平行四边形．

点评：出题的解答首先进行分类，然后按照一定顺序分类求出这三类中各有多少个平行四边形，由此解答即可．