Question

一个数去除69、90、125，所得的余数都相同，这个数是

7

，余数是

6

．

Answer 1

分析：假设这个数是x，余数是y，除69的商是a，除90的商是b，除125的商是c，根据余数的性质，被除数等于商乘除数加余数，列出等式，5个未知数，三个等式，解方程找不到唯一的解，可以这样：采取90-69=21=（b-a）x，125-69=56=（c-a）x，125-90=35=（c-b）x，把21、56和35分解质因数，它们的共有质因数就是x，把x带回原来的三个式子之一，即可得解．

解答：解：假设这个数是x，余数是y，除69的商是a，除90的商是b，除125的商是c，则有：
69=ax+y，
90=bx+y，
125=cx+y，
以上三式左边减左边就等于右边减右边，得：90-69=21=（b-a）x，125-69=56=（c-a）x，125-90=35=（c-b）x；
把21、56、35分解质因数：21=3×7，
56=2×2×2×7，
35=5×7，
所以，x=7，
把x=7代入69÷7=9…6，90÷7=12…6，125÷7=17…6；
所以y=6；
答：一个数去除69、90、125，所得的余数都相同，这个数是 7，余数是 6．
故答案为：7，6．

点评：灵活应用分解质因数，找到三个数的差的共有质因数，即为除数，是解决此题的突破口．