Question

在长方形ABCD中，AB=CD=5cm、BC=AD=4cm，动点P从A点出发，沿A?B?C?D路线运动，到点D停止；动点Q从D出发，沿D?C?B?A路线运动，到A停止；若P、Q同时出发，点P速度为1cm∕s，点Q速度为2cm∕s，3s后P、Q同时改变速度，点P速度变为2cm∕s，点Q速度变为1cm∕s．
（1）问P点出发几秒后，P、Q两点相遇？
（2）当Q点出发几秒后，点P、点Q在运动路线上相距的路程为8cm？

Answer 1

考点：环形跑道问题

专题：综合行程问题

分析：（1）先设点P出发t秒，两点相遇，解出后与3作比较，大于3就说明需要变速，其实一样，因为两者速度互换了一下；
（2）主要考虑两种情况，一种情况是PQ相遇前相距25cm；另一种情况是PQ相遇后相距25cm．找出相等关系，即可求解．

解答： 解：（1）设点P出发t秒，两点相遇．
一种情况是两点不变速就能相遇，那么有t+2t=5+5+4，解得t=

14

3

＞6．两点不可能不变速就相遇．
因此只能经过一次变速才能相遇．根据题意可得：
1×3+2×3+t+2t=14，解得t=

5

3

．
那么所用总时间=3+

5

3

=

14

3

所以P点出发

14

3

秒两点相遇．
 答：P点出发

14

3

秒后，P、Q两点相遇．


（2）主要考虑两种情况：
一种情况是PQ相遇前相距8cm，
未改变速度前，两者相距最小为：5+5+4-（1+2）×3=5
即在改变速度前有出现相遇8cm这一情况
设用时为t₁，5+5+4-（1+2）×t₁=8
解得，t₁=2
另一种情况是PQ相遇后相距8cm，
设相遇用时为t₂，t₂=

14

3

经过t₃后，PQ相距8cm，
t₃×（1+2）=8，
t₃=

8

3

，
故相遇后相距8cm所需的时间为：t₂+t₃=

14

3

+

8

3

=

22

3

答：当Q点出发

22

3

秒后，点P、点Q在运动路线上相距的路程为8cm

点评：本题属于难度较大的题目，利用了相遇问题的知识，以及s=vt．主要是考虑情况要全面．