Question

有四个不同的自然数，它们的和是1991．如果要求这四个数的最大公约数尽可能的大，这四个数中最大的那个数是

905

．

Answer 1

分析：将1991进行分解，1991=11×181
1、先得出这四个数的最大公约数是181．为什么呢？假如还有更大的公约数k，那么必有 1991=ak+bk+ck+dk=（a+b+c+d）k  （k＞181，a，b，c，d为正整数且都不等），由于1991=11×181，k＞181，可以得到a+b+c+d＜11，但在小于11的正整数中，除了1以外，没有数能整除1991．所以这四个数的最大公约数是181．
2、把11分解成4个不相等的正整数的和，要使其中一个达到最大，则其它三个要尽可能的小．必须这样分：
11=1+2+3+5  则1991=181+2×181+3×181+5×181
其中最大数就是5×181=905，由此可以解决．

解答：解：1991=11×181
     11=1+2+3+5
则1991=（1+2+3+5）×181=181+2×181+3×181+5×181
所以这四个数中最大的数是5×181=905
故答案为905

点评：此题考查了求几个数的最大公因数的方法在实际问题中的灵活应用，分析问题时要从多个方面考虑以便得出正确的解题思路．