Question

三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？

Answer 1

分析：根据题意可分析连续3个正整数里面必有一个数能被3、4和5整除，所以所得到的“美妙数”中必含有约数3、4和5，再将所有的公约数相乘就可求出最大公约数．

解答：解：①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因数3．
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因数4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因数5．
④上述说明“美妙数”都有因数3、4、和5，也就有因数60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．
另一方面，60=3×4×5，60也是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．
答：所有的美妙数的最大公约数只能是60．

点评：本题通过分析，找出美妙数的特点，从而找出最小的美妙数，再根据最大公因数的特点求解．