Question

现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243．任意搭配这些筹码（也可以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加起来，总和为多少？将这些和从小到大排列起来，第45个是多少？

Answer 1

考点：排列组合,数字和问题

专题：可能性

分析：每个筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有2⁶=64种可能，除去6个筹码都不取的情况，即64-1=63种不同的和．64种可能的取筹码的方法中，包含筹码1的会是32次（一半的可能性），所以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也一样，都是要被算32次．所以“和的总和”是所有这些筹码的和，再乘以32，就是（1+3+9+27+81+243）×32=364×32=11648；
从小到大排列，那么先就不取243，前面5个筹码，可以取的方法共有 2⁵=32种．还差13个．下面得取243了，先取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：243+1，243+3，243+1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1+3+9；还要再取5个．再下面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+3，243+27+1+3，243+27+9，243+27+9+1=208（也就是第45个是280）．

解答： 解：每个筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有2⁶=64种可能，除去6个筹码都不取的情况，即64-1=63种不同的和．
包含筹码1的会是32次（一半的可能性），所以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也一样，都是要被算32次．所以这些筹码的和是（1+3+9+27+81+243）×32=364×32=11648；
从小到大排列，那么先就不取243，前面5个筹码，可以取的方法共有2⁵=32种．45-32=13个．下面得取243了，先取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：243+1，243+3，243+1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1+3+9；
还要再取5个．再下面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+3，243+27+1+3，243+27+9，243+27+9+1=208；
也就是第45个是280．

点评：此题考查排列组合的实际运用，注意两种计数方法的灵活运用．