Question

9．已知a_n+1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{a}_{n}}}$    n=（1，2，3…，2002），求当a₁=1时，a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₀₂a₂₀₀₃
的值．

Answer 1

分析 先根据a₁=1及a_n+1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{a}_{n}}}$   求出a₂，a₃的值，找出规律，然后再代入所求代数式进行计算即可．

解答 解：因为a_n+1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{a}_{n}}}$  
当当a₁=1时
a₂=$\frac{1}{1+\frac{1}{1}}$=$\frac{1}{2}$
a₃=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$
…
a₂₀₀₃=$\frac{1}{2003}$
所以a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₀₂a₂₀₀₃
=$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$+…$\frac{1}{2002×2003}$
=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$）+…（$\frac{1}{2002}$$-\frac{1}{2003}$）
=1-$\frac{1}{2003}$
=$\frac{2002}{2003}$

点评 本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出a₁，a₂，a₃的值，找出规律是解答本题的关键．